Question

 (滿分14分）設函數.

(1)求的單調區間;

(2)若當時,(其中不等式恒成立,求實數m的取值范圍;

(3)試討論關于x的方程:在區間[0,2]上的根的個數.

 

Answer 1

【答案】

(1)增區間為,減區間為.

(2) 時,不等式恒成立.

(3) 時,方程無解;

或時,方程有唯一解;

時,方程有兩個不等的解.

【解析】(1)直接利用導數大（小）于零，求其單調增（減）區間即可.

(2)利用導數求f(x)的最大值，則.

(3) 即

然后令,再利用導數確定g(x)的單調區間和極值，畫出草圖，觀察直線y=a在什么范圍變化時，它與y=g(x)有不同的交點.

(1)函數的定義域為.       ……… 1分

由得;  ……… 2分                    

由得,       ………3分

則增區間為,減區間為.       ………4分

(2)令得,

由(1)知在上遞減,在上遞增,   ………6分

由,且,      ……… 8分

時, 的最大值為,

故時,不等式恒成立.   ………9分

(3)方程即.記,則

.由得;由得.

所以在上遞減;在上遞增.

而,    ………10分

所以,當時,方程無解;

當時，方程有一個解;

當時,方程有兩個解;

當時,方程有一個解;

當時,方程無解.                ………13分

綜上所述,時,方程無解;

或時,方程有唯一解;

時,方程有兩個不等的解.      ………14分