Question

如圖，貨輪每小時30

2

海里的速度向正東方航行，快艇按固定方向勻速直線航行，當貨輪位于A₁處時，快艇位于貨輪的東偏南105°方向的B₁處，此時兩船相距30海里，當貨輪航行30分鐘到達A₂處時，快艇航行到貨輪的東偏南45°方向的B₂處，此時兩船相距15(

3

-1)海里．問快艇每小時航行多少海里？

Answer 1

分析：連接A₂B₁，確定兩船的位置關系，在△A₂A₁B₁中，由余弦定理，求出B₁A₂的長度，利用正弦定理求出∠A₁A₂B₁，然后求出兩船相遇的距離B₁B₂，然后求出快艇的速度．

解答：解：如圖，連接A₂B₁，根據題意，有：
A₁B₁=30海里，A₁A₁=30

2

×

30

60

=15

2

海里，∠B₁A₁A₂=105°
∵cos105°=cos（45°+60°）
=cos45°cos60°-sin45°sin60°
=

2 (1- 3 )

4

=

2 - 6

4

，
sin105°=sin（45°+60°）
=sin45°cos60°+cos45°sin60°
=

2 (1+ 3 )

4

，
在△A₂A₁B₁中，由余弦定理，
B1

A

2 2

=B1

A

2 1

+A1

A

2 2

-2B1

A

1

•A1

A

2

cos105°=302+(15

2

)2-2×30×15

2

×(

2 - 6

4

)=152(4+2

3

)
∴B1A2=15(1+

3

)，
由正弦定理
sin∠A1A2B1=

A1B1•sin∠A2A1B1

B1A2

=

30•sin105°

15(1+ 3 )

=

2

2

∴∠A₁A₂B₁=45°
又∵∠B₂A₂C=45°，
∴∠B₁A₂B₂=90°
在Rt△B₁A₂B₂中，B₁B₂²=B₁A₂²+A₁B₂²=15²×8
∴B1

B

2

=30

2

快鋌的速度大小為

30 2

30

×60=60

2

（海里/小時）．

點評：本題是中檔題，考查解三角形正弦定理、余弦定理的應用，考查實際問題中方位角與距離之間的關系，考查計算能力，轉化思想．