Question

（本小題滿分14分）、
已知函數(shù)．
（Ⅰ）求證：存在定點(diǎn)，使得函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱的點(diǎn)也在函數(shù)的圖象上，并求出點(diǎn)的坐標(biāo)；
（Ⅱ）定義，其中且，求；
（Ⅲ）對于（Ⅱ）中的，求證：對于任意都有．

Answer 1

．解：（Ⅰ）顯然函數(shù)定義域?yàn)椋?，1）. 設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（a, b），
則由
對于恒成立，于是解得 
所以存在定點(diǎn)，使得函數(shù)f(x)的圖象上任意一點(diǎn)P關(guān)于M點(diǎn)對稱的點(diǎn)Q也在函數(shù)f(x)的圖象上.             4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
∵  ……①
∴              ②
①+②，得，∴，故   8分
（Ⅲ）當(dāng)時，由（Ⅱ）知，
于是等價于      0分
令，則，
∴當(dāng)時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，又g(0)=0.
于是，當(dāng)時，恒有，即恒成立.  …12分
故當(dāng)時，有成立，取，
則有成立.            14分

略