Question

【題目】如圖，邊長為4的正方形中，半徑為1的動圓Q的圓心Q在邊CD和DA上移動（包含端點A,C,D），P是圓Q上及其內部的動點，設，則的取值范圍是_____________.

Answer 1

【答案】

【解析】

建立如圖所示平面直角坐標系，可得,＝（ 4，0），.由圖可知，當動圓Q的圓心經過點D時，P.此時m+n取得最大值：4m+4n＝8+，可得m+n＝2+ ．當動圓Q的圓心為點C或點A時，利用三角函數求m+n的最小值．

解：如圖所示，邊長為4的長方形ABCD中，動圓Q的半徑為1，圓心Q在邊CD和DA上移動（包含端點A，C，D），P是圓Q上及內部的動點，

向量 （m，n為實數），

=（0，4），＝（ 4，0），可得 ＝（ 4m，4n）．

當動圓Q的圓心經過點D時，如圖：P.

此時m+n取得最大值：4m+4n＝8+ ，可得m+n＝2+ ．

當動圓Q的圓心為點C時，BP與⊙C相切且點P在x軸的下方時，＝（4+cosθ，sinθ），

此時，4m+4n＝4﹣ sin（θ+ ），

m+n取得最小值為：1﹣，此時P（ 4﹣ ，﹣）．

同理可得，當動圓Q的圓心為點A時，BP與⊙A相切且點P在y軸的左方時，

m+n取得最小值為：1﹣，此時P（-，4﹣）．

∴則m+n的取值范圍為

故答案為.