Question

設(shè)平面內(nèi)有k條直線，其中任何兩條不平行，任何三條不共點(diǎn)，設(shè)k條直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為f(k),則f(k+1)與f(k)的關(guān)系是(   )

A.f(k+1)=f(k)+k+1

B.f(k+1)=f(k)+k-1

C.f(k+1)=f(k)+k

D.f(k+1)=f(k)+k+2

Answer 1

解析：假設(shè)n=k(k≥2)時(shí)命題成立，即平面內(nèi)滿足題設(shè)的任何k條直線的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為f(k).當(dāng)n=k+1時(shí)，任取其中1條直線，記為l,由上述歸納法的假設(shè)，除l以外的其他k條直線的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為f(k).另外，因?yàn)橐阎�任何兩條直線不平行，所以直線l必與平面內(nèi)其他k條直線都相交（有k個(gè)交點(diǎn)）；又因?yàn)橐阎�任何三條直線不過(guò)同一點(diǎn)，所以上面的k個(gè)交點(diǎn)兩兩不相同，且與平面內(nèi)其他的f(k)個(gè)交點(diǎn)也兩兩不相同，從而平面內(nèi)交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是f(k)+k=f(k+1).

答案：C