Question

（12分）已知拋物線和點(diǎn)M（2，2），若拋物線L上存在不同的兩點(diǎn)A、B滿足。

（1）求實(shí)數(shù)p的取值范圍；

（2）當(dāng)時(shí)，拋物線L上是否存在異于A、B的點(diǎn)C，使得經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的圓和拋物線L在點(diǎn)C處有相同的切線？若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

 

 

 

Answer 1

【答案】

,存在滿足題設(shè)的點(diǎn)C，其坐標(biāo)為（-2，1）。

【解析】解：（法一）（1）不妨設(shè)，且。

。

，即，即的取值范圍為。

（2）當(dāng)時(shí)，由（1）求得A、B的坐標(biāo)分別為（0，0），（4，4）。假設(shè)拋物線L上存在點(diǎn)，使得經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的圓和拋物線L在點(diǎn)C處有相同的切線。設(shè)經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的圓的方程為，則。

整理得，① ∵函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，∴拋物線L在點(diǎn)處的切線的斜率為，∴經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的圓N在點(diǎn)處的切線斜為。∵，∴直線NC的斜率存在。∵圓心N的坐標(biāo)為，∴，即，       ②

，由①、②消去E，得。即。，故存在滿足題設(shè)的點(diǎn)C，其坐標(biāo)為（-2，1）。