Question

已知拋物線L：x²=2py（p＞0）和點M（2，2），若拋物線L上存在不同的兩點A、B滿足

AM

+

BM

=0．
（1）求實數p的取值范圍；
（2）當p=2時，拋物線L上是否存在異于A、B的點C，使得經過A、B、C三點的圓和拋物線L在點C處有相同的切線？若存在，求出點C的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）先利用

AM

+

BM

=0得M為AB的中點，把直線AB的方程與拋物線方程聯立借助于判別式大于0求出實數p的取值范圍；
（2）先利用圓過A、B、C三點求出圓心坐標和點C坐標之間的關系，再利用拋物線L在點C處切線與NC垂直求出點C的坐標即可．

解答：解：（1）設A，B兩點的坐標為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且x₁＜x₂．
∵

AM

+

BM

=0，查得M為AB的中點，即x₁+x₂=4．顯然直線AB與x軸不垂直，
設直線AB的方程為y-2=k（x-2），
即y=kx+2-2k，將y=kx+2-2k代入x²=2py中，得x²-2pkx+4（k-1）p=0．
∴

△=4p2k2-16(k-1)p＞0 x1+x2=2pk=4

，∴p＞1，故p的取值范圍為（1，+∞）．
（2）當p=2時，由（1）求得A，B的坐標分別為A（0，0），B（4，4）．
假設拋物線L：x²=4y上存在點C(t，

t2

4

)（t≠0且t≠4），
使得經過A、B、C三點的圓和拋物線L在點C處有相同的切線．設圓的圓心坐標為N（a，b），
∵

|NA|=|NB |NA|=|NC

，∴

a2+b2 = (a-4)2+(b-4)2 a2+b2 = (a-t)2+(b- t2 4 )2

即

a+b=4 4a+tb=2t+ 1 8 t3

解得

a=- t2+4t 8 b= t2+4t+32 8

．
∵拋物線L在點C處切線的斜率為k=y′|x=t=

t

2

，而t≠0，且該切線與NC垂直，
∴

b- t2 4

a-t

•

t

2

=-1．
即2a+bt-2t-

1

4

t3=0．
將a=-

t2+4t

8

，b=

t2+4t+32

8

代入上式，得t³-2t²-8t=0，
即t（t-4）（t+2）=0．
∵t≠0且t≠4，
∴t=-2．故存在滿足題設的點C，其坐標為（-2，1）．

點評：本題綜合考查了直線與圓錐曲線以及圓于圓錐曲線的綜合問題，是對知識的綜合，是道難題．