Question

已知數列{a_n}的各項均為正數，S_n是數列{a_n}的前n項和，且4Sn=an2+2an-3．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）求S_n值．

Answer 1

分析：（1）利用數列遞推式，再寫一式，兩式相減，可得數列{a_n}是以3為首項，2為公差的等差數列，從而可求數列{a_n}的通項公式；
（2）利用等差數列的求和公式，可得結論．

解答：解：（1）當n=1時，a1=s1=

1

4

a

2 1

+

1

2

a1-

3

4

，解出a₁=3，
又4S_n=a_n²+2a_n-3              ①
當n≥2時，4s_n-1=

a

2 n-1

+2a_n-1-3    ②…（4分）
①-②：4an=

a

2 n

-

a

2 n-1

+2(an-an-1)，即

a

2 n

-

a

2 n-1

-2(an+an-1)=0，
∴(

a

n

+an-1)(an-an-1-2)=0，
∵a_n+a_n-1＞0，∴a_n-a_n-1=2（n≥2），…（6分）
∴數列{a_n}是以3為首項，2為公差的等差數列，
∴a_n=3+2（n-1）=2n+1．    …（7分）
（2）由（1）知a_n=2n+1，∴數列{a_n}是以3為首項，2為公差的等差數列，
∴Sn=3n+

n(3+2n+1)

2

=n(n+2)=n2+2n…..（12分）

點評：本題考查數列遞推式，考查數列的通項與求和，考查學生的計算能力，屬于中檔題．