Question

設(shè)數(shù)列{a_n}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，公比為q，S_n是其前n項和．
（1）證明；
（2）設(shè)，記數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，試比較q²S_n和T_n的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題設(shè)知當(dāng)q=1時，S_n•S_n+2-S_n+1²=na₁•（n+2）a₁-（n+1）²a₁²=-a₁²＜0；當(dāng)q≠1時，S_n•S_n+2-S_n+1²==-a₁²qⁿ＜0．由此可知S_n•S_n+2-S_n+1²＜0．所以．
（2）方法一：由題意知T_n=，T_n-q²S_n=≥2，所以T_n＞q²S．
方法二：由題意知T_n=，再由，利用均值不等式可知T_n＞q²S．
解答：證明：（1）由題設(shè)知a₁＞0，q＞0．（1分）
（i）當(dāng)q=1時，S_n=na₁，
于是S_n•S_n+2-S_n+1²=na₁•（n+2）a₁-（n+1）²a₁²=-a₁²＜0，（3分）
（ii）當(dāng)q≠1時，，
于是S_n•S_n+2-S_n+1²==-a₁²qⁿ＜0．（7分）
由（i）和（ii），得S_n•S_n+2-S_n+1²＜0．
所以S_n•S_n+2＜S_n+1²，．（8分）
（2）方法一：，（11分）
T_n=，
T_n-q²S_n=，（13分）
=≥2＞0，（15分）
所以T_n＞q²S．（16分）
方法二：T_n=，（11分）
由，（13分）
因為q＞0，所以
（當(dāng)且僅當(dāng)，即時取“=”號），
因為，
所以，即T_n＞q²S．（16分）
點評：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和綜合應(yīng)用，難度較大，解題時要認真審題，仔細解答，注意公式的合理選用．