Question

（2012•金華模擬）設{a_n}是由正數組成的等比數列，公比為q，S_n是其前n項和．
（1）若q=2，且S₁-2，S₂，S₃成等差數列，求數列{a_n}的通項公式；
（2）求證：對任意正整數n，S_n，S_n+1，S_n+2不成等比數列．

Answer 1

分析：（1）由題意可得S₂-S₁=S₃-S₂-2，即a₂=a₃-2，將q=2代入可求得a₁=1，從而可求得數列{a_n}的通項公式；
（2）分公比q=1與公比q≠1，分別計算Sn+12-S_n•S_n+2≠0即可證明，任意正整數n，S_n，S_n+1，S_n+2不成等比數列．

解答：解：（1）由已知得2S₂=S₁-2+S₃，
∴S₂-S₁=S₃-S₂-2，
∴a₂=a₃-2，代入q=2得2a₁=4a₁-2，
∴a₁=1，a_n=2^n-1，…7分
證明：（2）當公比q=1時，S_n=na₁，S_n+1=（n+1）a₁，S_n+2=（n+2）a₁，
Sn+12-S_n•S_n+2=（n²+2n+1）a12-n（n+2）a12=a12＞0，…9分
當公比q≠1時，Sn+12-S_n•S_n+2=

a12(1-qn+1)2

(1-q)2

-

a1(1-qn)

1-q

•

a1(1-qn+2)

1-q

=a12q²＞0，
綜上所述，Sn+12-S_n•S_n+2＞0，
∴任意正整數n，S_n，S_n+1，S_n+2不成等比數列…14分．

點評：本題考查數列的求和，考查等比數列的通項公式及求和公式的應用，考查分析轉化與分類討論思想，屬于中檔題．