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已知f(x)是偶函數,在[0,+∞)上是增函數,若f(ax+1)≤f(x-2)(|a|≥1)在x∈[
12
,1]
上恒成立,則實數a的取值范圍為
 
分析:先利用偶函數的定義把f(ax+1)≤f(x-2)?f(|ax+1|)≤f(|x-2|),再利用其單調性轉化為|ax+1|≤|x-2|;對其兩邊平方整理后利用分類討論的方法分別求出實數a的取值范圍最后綜合即可.
解答:解:因為f(x)是偶函數,故有f(x)=f(-x)=f(|x|)
所以f(ax+1)≤f(x-2)在x∈[
1
2
,1]
上恒成立?f(|ax+1|)≤f(|x-2|)在x∈[
1
2
,1]
上恒成立 ①;
又因為在[0,+∞)上是增函數,
故①式轉化為|ax+1|≤|x-2|在x∈[
1
2
,1]
上恒成立?(a2-1)x2+2(a+2)x-3≤0  ②在x∈[
1
2
,1]
上恒成立.
a=1時,②轉化為2x-1≤0?x≤
1
2
不符合,舍去;
a=-1時,②轉化為2x-3≤0?x≤
3
2
成立;
|a|>1時,得a2-1>0,②轉化為
(a2-1)×(
1
2
)
2
 +2(a+2)×
1
2
-3≤0
(a2-1)×1+2(a+2)-3≤0

-5≤a≤1
-2≤a≤0
?-2≤a≤0且a≠-1.
∵|a|≥1
綜上得:實數a的取值范圍為[-2,-1].
故答案為[-2,-1].
點評:本題主要考查函數的奇偶性和單調性.在偶函數的定義應用中,因為其在關于原點對稱的區間上單調性相反,所以在作題過程中,一般是利用f(x)=f(-x)=f(|x|)把變量轉化到同一個單調區間內.
練習冊系列答案
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已知f(x)是偶函數,且f(x)在[0,+∞)上是增函數,如果f(ax+1)≤f(x-2)在x∈[
1
2
,1]
上恒成立,則實數a的取值范圍是(  )
A、[-2,1]
B、[-5,0]
C、[-5,1]
D、[-2,0]

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π
2
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