Question

【題目】已知函數（為自然對數的底數），，．

（1）求曲線在處的切線方程；

（2）討論函數的極小值；

（3）若對任意的，總存在，使得成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

試題分析：（1）求出在處的導數即得切線的斜率；求出切點坐標，根據點斜式方程求得切線方程；（2）討論導函數的零點與定義域的關系得到其單調性，找出極小值點，求得極小值；（3）對任意的，總存在，使得成立，等價于在上的最小值大于在上的最小值，分別求出的最小值和的最小值，得到的范圍.

試題解析：（1）因為，

所以，即切線的斜率為．

又，則切點坐標為，

故曲線在處的切線方程為，

即．

（2），

，又的定義域，

∴當時，令，或，

令，，

∴在上單調遞增，在上單調遞減，在單調遞增，

∴的極小值為，

當時，，

綜上，．

（3）對任意的，總存在，

使得成立，等價于在上的最小值大于在上的最小值，

當時，，

在上遞減，，

由（2）知，在上遞增，

，

∴，即，又，

∴．