Question

5、在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，當底面四邊形ABCD滿足條件

AC⊥BD或四邊形ABCD為菱形

時，有A₁C⊥B₁D₁．（注：填上你認為正確的一種條件即可，不必考慮所有可能的情況）

Answer 1

分析：由假設A₁C⊥B₁D₁，結合直四棱柱的性質及線面垂直的判定和性質定理，我們易得到A₁C₁⊥B₁D₁，即AC⊥BD，又由菱形的幾何特征可判斷出四邊形ABCD為菱形，又由本題為開放型題目上，故答案可以不唯一．

解答：解：若A₁C⊥B₁D₁，由四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁為直四棱柱
AA₁⊥B₁D₁，易得B₁D₁⊥平面AA₁BB₁，
則A₁C₁⊥B₁D₁，即AC⊥BD
則四邊形ABCD為菱形
故答案為：AC⊥BD或四邊形ABCD為菱形

點評：本題考查的知識點是空間中直線與直線之間的位置關系，三垂線定理，線線垂直可由線面垂直的性質推得，直線和平面垂直，這條直線就垂直于平面內所有直線，這是尋找線線垂直的重要依據．垂直問題的證明，其一般規律是“由已知想性質，由求證想判定”，也就是說，根據已知條件去思考有關的性質定理；根據要求證的結論去思考有關的判定定理，往往需要將分析與綜合的思路結合起來．