Question

【題目】如圖1，已知正方體的棱長為，為棱的中點，分別是線段，，上的點，若三棱錐的俯視圖如圖2，則三棱錐的體積最大值為（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】D

【解析】

通過俯視圖可確定M，Q為所在棱中點，由線面關系可確定當N與C重合時，N到平面PQM的距離最大．由截面圖形ACC1A1中的線線關系可知CE，再求出三角形PQM的面積，代入棱錐體積公式求解．

由俯視圖知，M為A1D1的中點，Q為A1B1的中點，N為CC1上任意一點，

如圖1所示：由中位線可知：PQ∥AB1，MP∥AD1，且，，

∴平面PMQ∥平面AB1D1，由正方體中線面關系可知：A1C⊥平面AB1D1，∴A1C⊥平面PMQ，

∴當N與C重合，點N到平面PMQ的距離最大，截面ACC1A1如圖2所示，其中平面ACC1A1∩平面PMQ＝PS，

平面ACC1A1∩平面AB1D1＝AT，則，∴CE＝，

又A1C＝，∴最大值為CE＝A1C＝＝．

又，∴三棱錐P﹣MNQ的體積最大值為．

故選：D．

圖1 圖2