Question

已知DA⊥平面ABC，AC⊥CB，AC=CB=AD=2，E是DC的中點，F是AB的中點．
（1）證明AC⊥EF；
（2）求二面角C-DB-A的正切值；
（3）求點A到平面BCD的距離．

Answer 1

分析：（1）以A為原點，AC，AD的方向分別為X，Z軸的正方向，建立坐標系，求出各頂點的坐標，進而求出向量

AC

，

EF

，代入向量夾角公式，即可得到AC⊥EF；
（2）求出平面CDB的法向量及平面ADB的法向量，然后代入二面角向量法公式，即可得到二面角C-DB-A的余弦值，進而得到二面角C-DB-A的正切值；
（3）連接AE，我們易證明AE⊥平面BCD，解三角形ACD，我們易求出AE的長度，即點A到平面BCD的距離．

解答：解：（1）證明：以A為原點，建立如圖所示的坐標系，

則A（0，0，0），D（0，0，2），B（2，2，0），C（2，0，0），E（1，0，1），F（1，1，0）
∴

AC

=（2，0，0），

EF

=（0，1，-1）
所以

AC

•

EF

=0，
∴AC⊥EF
（2）∵AC=CB且F為AB的中點
∴CF⊥AB，又由CF⊥AD，AB∩AD=A
∴CF⊥平面ABD，
∴

FC

=（1，-1，0）為平面ABD的法向量
又∵AD=AC，E為CD的中點，
∴AE⊥CD
又∵BC⊥平面ACD，
∴AE⊥BC
∴AE⊥平面BCD
故

AE

=（1，0，1）為平面BCD的一個法向量
則cosθ=

AE • FC

| AE |•| FC |

=

1

2

則tanθ=

3

故二面角C-DB-A的正切值為

3

（3）∵AD=AC，E是DC的中點
∴AE⊥DC
又∵CB⊥CA，CB⊥AD，而CA∩AD=A
∴CB⊥平面CAD
∴AE⊥CB，又由CD∩CB=C
∴AE⊥平面DCB，
在等腰直角三角形ACD中，可得AE=

2

即求點A到平面BCD的距離為

2

點評：本題考查的知識點是直線與平面垂直的性質，點、線、面的距離的計算，二面角的平面角及求法，其中根據已知中DA⊥平面ABC，AC⊥CB，建立空間坐標系，將問題轉化為向量的夾角問題是解答本題的關鍵．