Question

【題目】已知數(shù)列中，，前項(xiàng)和為，且.

（1）求，的值；

（2）證明：數(shù)列是等差數(shù)列，并寫(xiě)出其通項(xiàng)公式；

（3）設(shè)（），試問(wèn)是否存在正整數(shù)，（其中，使得，，成等比數(shù)列？若存在，求出所有滿足條件的數(shù)對(duì)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1），；（2）證明見(jiàn)解析，；（3）存在，.

【解析】

（1）在中，分別令即可求得答案；
（2）由，即，得，兩式作差整理變形，根據(jù)等差數(shù)列等差中項(xiàng)的性質(zhì)即可證明；
（3）假設(shè)存在正整數(shù)數(shù)組，使，，成等比數(shù)列，則可得到關(guān)系，觀察可知滿足條件，根據(jù)數(shù)列單調(diào)性可證明唯一符合條件.

（1）令，則，

令，則，；

（2）由，即 ① ，

又 ②，

②式減①式，得 ③，

于是 ④，

③、④兩式相加，得，

所以，即，

所以，數(shù)列是等差數(shù)列.

又，，所以公差，

所以的通項(xiàng)公式為；

（3）由（2）和，知，假設(shè)存在正整數(shù)數(shù)組（），使得，，成等比數(shù)列，則，

于是，所以 （*），

當(dāng)時(shí)，，，.

所以是方程（*）的一組解.

當(dāng)且時(shí)，因?yàn)?/spn>，即單調(diào)遞減，

所以，此時(shí)方程（*）無(wú)正整數(shù)解.

綜上，滿足題設(shè)的數(shù)對(duì)有且只有一個(gè)，為.