【題目】如圖所示，在直角坐標系
中，點
到拋物線
的準線的距離為
，點
是
上的定點，
、
是上的兩個動點，且線段
的中點
在線段
上.
（1）拋物線的方程及
的值；
（2）當點、分別在第一、四象限時，求
的取值范圍.
口算心算速算應用題系列答案
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【題目】關于函數
，有下列四個命題：①
的值域是
；②是奇函數；③在上單調遞增；④方程
總有四個不同的解；其中正確的是（ ）
A.①②B.②③C.②④D.③④
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【題目】在平面直角坐標系xOy中，將直線l沿x軸正方向平移3個單位長度，沿y軸正方向平移5個單位長度，得到直線l1.再將直線l1沿x軸正方向平移1個單位長度，沿y軸負方向平移2個單位長度，又與直線l重合.若直線l與直線l1關于點（2，3）對稱，則直線l的方程是________________.
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【題目】已知橢圓C：
（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1，F2，且離心率為
，M為橢圓上任意一點，當∠F1MF2＝90°時，△F1MF2的面積為1．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知點A是橢圓C上異于橢圓頂點的一點，延長直線AF1，AF2分別與橢圓交于點B，D，設直線BD的斜率為k1，直線OA的斜率為k2，求證：k1·k2等于定值．
【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）見解析
【解析】
（Ⅰ）由題意可求得
，則
，橢圓
的方程為.
（Ⅱ）設
，
，
當直線
的斜率不存在或直線
的斜率不存在時，
.
當直線、的斜率存在時，
,設直線的方程為
，聯立直線方程與橢圓方程，結合韋達定理計算可得直線
的斜率為
，直線
的斜率為
，則.綜上可得：直線與的斜率之積為定值
.
（Ⅰ）設
由題
，
解得，則，
橢圓的方程為.
（Ⅱ）設，，當直線的斜率不存在時，
設
，則
，直線的方程為
代入，
可得
，
，則
,
直線的斜率為
，直線的斜率為
，
，
當直線的斜率不存在時，同理可得.
當直線、的斜率存在時，設直線的方程為，
則由
消去
可得：
，
又
，則
，代入上述方程可得:
，
，
則
，
設直線的方程為
，同理可得
，
直線的斜率為
直線的斜率為， 
.
所以，直線與的斜率之積為定值，即.
【點睛】
(1)解答直線與橢圓的題目時，時常把兩個曲線的方程聯立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數的關系，并結合題設條件建立有關參變量的等量關系．
(2)涉及到直線方程的設法時，務必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形．
【題型】解答題
【結束】
21
【題目】已知函數f（x）＝（x＋b）（
－a），（b＞0），在（－1，f（－1））處的切線方程為（e－1）x＋ey＋e－1＝0．
（Ⅰ）求a，b；
（Ⅱ）若方程f（x）＝m有兩個實數根x1，x2，且x1＜x2，證明：x2－x1≤1＋
．
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【題目】已知數列
中，
，前
項和為
，且
.
（1）求
，
的值；
（2）證明：數列是等差數列，并寫出其通項公式；
（3）設
（
），試問是否存在正整數
，
（其中
，使得
，
，
成等比數列？若存在，求出所有滿足條件的數對
；若不存在，請說明理由.
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【題目】已知橢圓
的右焦點為
，且點
在橢圓
上．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）當點
在橢圓的圖像上運動時，點
在曲線
上運動，求曲線的軌跡方程，并指出該曲線是什么圖形；
（3）過橢圓
上異于其頂點的任意一點
作曲線的兩條切線，切點分別為
不在坐標軸上），若直線
在
軸，
軸上的截距分別為
試問：
是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由．
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【題目】海水稻就是耐鹽堿水稻，是一種介于野生稻和栽培稻之間的普遍生長在海邊灘涂地區的水稻，具有抗旱抗澇、抗病蟲害、抗倒伏抗鹽堿等特點.近年來，我國的海水稻研究取得了階段性成果，目前已開展了全國大范圍試種.某農業科學研究所分別抽取了試驗田中的海水稻以及對照田中的普通水稻各
株，測量了它們的根系深度（單位：
），得到了如下的莖葉圖，其中兩豎線之間表示根系深度的十位數，兩邊分別是海水稻和普通水稻根系深度的個位數，則下列結論中不正確的是（ ）
A.海水稻根系深度的中位數是
B.普通水稻根系深度的眾數是
C.海水稻根系深度的平均數大于普通水稻根系深度的平均數
D.普通水稻根系深度的方差小于海水稻根系深度的方差
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