Question

已知函數f（x）=2sin²x+2

3

sinxcosx+1．
（1）求f（x）的最小正周期和最大值；
（2）求f（x）在[0，

π

2

]上的值域．

Answer 1

分析：（1）將函數f（x）=2sin²x+2

3

sinxcosx+1化為（x）=2sin（2x-

π

6

）+2，即可求得其周期和最大值．
（2）由x∈[0，

π

2

]可得2x-

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，利用正弦函數的單調性可求f（x）的值域．

解答：解：（1）因為f(x)=2sin2x+2

3

sinxcosx+1=1-cos2x+

3

sin2x+1…（2分）=2sin(2x-

π

6

)+2…（4分）
所以f（x）的最小正周期T=

2π

ω

=

2π

2

=π，最大值為4．…（7分）
（2）∵x∈[0，

π

2

]
∴2x-

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，…（9分）
∴-

1

2

≤sin（2x-

π

6

）≤1 …（12分）
所f（x）在[0，

π

2

]上的值域[1，4]…（14分）

點評：本題考查三角函數的化簡求值，著重考查降冪公式與輔助角公式的應用及正弦函數的函數的單調性質，屬于中檔題．