Question

拋物線的頂點在原點，以x軸為對稱軸，經過焦點且傾斜角為135°的直線被拋物線所截得的弦長為8，試求拋物線方程．

 

Answer 1

【答案】

 

如圖所示，依題意，設拋物線方程為y²＝2px，則直線方程為y＝－x＋p.設直線交拋物線于A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)兩點，過A、B分別作準線的垂線，垂足分別為C、D.

則由拋物線定義得

|AB|＝|AF|＋|FB|＝|AC|＋|BD|

＝x₁＋＋x₂＋，………………4分

即x₂＋＋x₂＋＝8.①

又A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)是拋物線和直線的交點，

由消去y，得x²－3px＋＝0，

Δ＝9p²－4×＝8p²＞0.

所以x₁＋x₂＝3p.

將其代入①得p＝2，

所以所求拋物線方程為y²＝4x.

當拋物線方程設為y²＝－2px(p＞0)時，

同理可求得拋物線方程為y²＝－4x.

故所求拋物線方程為y²＝4x或y²＝－4x.………………8分

【解析】略