Question

（本小題滿分14分）

定義在上的函數同時滿足以下條件：

① 在上是減函數，在上是增函數； ② 是偶函數；

③ 在處的切線與直線垂直.

（1）求函數的解析式；

（2）設，若存在，使，求實數的取值范圍.[

 

Answer 1

【答案】

解：（1）. （2）為所求.

【解析】本題考查函數解析式的求法和求實數的取值范圍，考查化歸與轉化、分類與整合的數學思想，培養學生的抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力和創新意識。

（Ⅰ）求出f′（x）=3ax²+2bx+c，由f（x）在（0，1）上是減函數，在（1，+∞）上是增函數，得到f′（1）=3a+2b+c=0，再由函數的奇偶性和切線方程能夠求出函數y=f（x）的解析式．

（Ⅱ）若存在x∈[1，e]，使4lnx-m＜x²-1，即存在x∈[1，e]，使m＞4lnx-x²+1，由此入手，結合題設條件，能夠求出實數m的取值范圍．

解：（1）……………………1

∵ 在上是減函數，在上是增函數，

∴，           ()   ……………………3分

由是偶函數得：，                 …………………4分

又在處的切線與直線垂直，，                          ……………………5分

代入()得：即.    …………………6分

（2）由已知得：若存在，使，即存在，使.……………………8

設，

則，                …………………10分

令＝0，∵，∴，      

當時，，∴在上為減函數，

當時，，∴在上為增函數，

∴在上有最大值.                

又，∴最小值為. … 13分

于是有為所求.          ……………14分