Question

數列{a_n}滿足是常數。

（Ⅰ）當a₂=-1時，求及a₃的值；

（Ⅱ）數列{a_n}是否可能為等差數列？若可能，求出它的通項公式；若不可能，說明理由；

（Ⅲ）求的取值范圍，使得存在正整數m,當n＞m時總有a_n＜0.

Answer 1

解：（Ⅰ）由于且a₁=1，

              所以當a₂=-1時，得,

              故

            　從而

�。á颍�數列{a_n}不可能為等差數列.證明如下：

            　由a₁=1，得

　　     　

            　若存在，使｛a_n｝為等差數列，則a₃-a₂=a₂-a₁,即

            　

            　解得=3.

              于是

　　　　　這與｛a_n｝為等差數列矛盾，所以，對任意，{a_n}都不可能是等差數列.

（Ⅲ）記根據題意可知，b₁＜0且，即＞2且N*)，這時總存在N*，滿足：當n≥n₀時，b_n＞0；

當n≤n₀-1時，b_n＜0.

　　　　所以由a_n+1=b_na_n及a₁=1＞0可知，若n₀為偶數，則，從而當n＞n₀

時a_n＜0；若n₀為奇數，則，從而當n＞n₀時a_n＞0.

因此“存在mN*，當n＞m時總有a_n＜0”的充分必要條件是：n_o為偶數，

記n_o=2k(k=1,2, …)，則滿足

                    

故的取值范圍是4k²+2k(kN*).