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設數列{an}滿足：a1=a，an+1=
2an
an+1
(n∈N*）．
（1）若數列{an}是無窮常數列，求a的值；
（2）當a∈（0，1）時，對數列{an}的任意相鄰三項an，an+1，an+2，證明：
an
(1-
a
2
n
)2
+
a
2
n+1
(1-
a
3
n+1
)2
+
a
3
n+2
(1-
a
4
n+2
)2
＜
1
(1-an+2)2
．
分析：（1）由于數列{an}是無窮常數列，可得a=
2a
a+1
，解得a即可；
（2）利用已知可得：0＜a=a1＜a2＜…＜an＜1．通過放縮法即可證明．
解答：（1）解：∵數列{an}是無窮常數列，∴a=
2a
a+1
，解得a=1；
（2）證明：∵a1=aa∈（0，1），∴a2=
2
a+1
×a1＞a1，另一方面a2=
2
1+
1
a
＜1，
∴0＜a1＜a2＜1．
依此類推可得：0＜a=a1＜a2＜…＜an＜1．
∴
0＜a
2
n
＜
a
2
n+2
＜1，∴1＞1-
a
2
n
＞1-
a
2
n+2
＞0，
∴
an
(1-
a
2
n
)2
＜
an
(1-
a
2
n+2
)2
＜
an+2
(1-
a
2
n+2
)2
，
即
an
(1-
a
2
n
)2
＜
an+2
(1-
a
2
n+2
)2
，
同理可得
a
2
n+1
(1-
a
3
n+1
)2
＜
a
2
n+2
(1-
a
3
n+2
)2
．
∴左邊＜
1
(1-an+2)2
[
an+2
(1+an+2)2
+
a
2
n+2
(1+an+2+
a
2
n+2
)2
+
a
3
n+2
(1+an+2)2(1+
a
2
n+2
)2
]
∵
an+2
(1+an+2)2
=
an+2
1+2an+2+
a
2
n+2
＜
an+2
1+an+2+
a
2
n+2
，
同理
a
2
n+2
(1+an+2+
a
2
n+2
)2
＜
a
2
n+2
1+an+2+
a
2
n+2
，
a
3
n+2
(1+an+2)2(1+
a
2
n+2
)2
＜
a
3
n+2
(1+an+2)2
＜
a
3
n+2
1+an+2+
a
2
n+2
．
∴左邊＜
1
(1-an+2)2
an+2+
a
2
n+2
+
a
3
n+2
1+an+2+
a
2
n+2
＜
1
(1-an+2)2
•an+2＜
1
(1-an+2)2
=右邊．
∴左邊＜右邊．
點評：利用已知得出數列的單調性和利用指數函數的單調性等是解題的關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

設數列{an}滿足a1=0，an+1=can3+1-c，n∈N*，其中c為實數
（1）證明：an∈[0，1]對任意n∈N*成立的充分必要條件是c∈[0，1]；
（2）設0＜c＜
1
3
，證明：an≥1-（3c）n-1，n∈N*；
（3）設0＜c＜
1
3
，證明：
a
2
1
+
a
2
2
+…
a
2
n
＞n+1-
2
1-3c
，n∈N*．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知f(x)=
1
4x+m
(m＞0)，當x1、x2∈R且x1+x2=1時，總有f(x1)+f(x2)=
1
2
．
（1）求m的值；
（2）設數列an滿足an=f(
0
n
)+f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n
n
)，求an的通項公式．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設數列{an}滿足a1=a，an+1=can+1-c，n∈N*其中a，c為實數，且c≠0
（Ⅰ）求數列{an}的通項公式
（Ⅱ）設a=
1
2
，c=
1
2
，bn=n（1-an），n∈N*，求數列{bn}的前n項和Sn；
（Ⅲ）若0＜an＜1對任意n∈N*成立，求實數c的范圍．（理科做，文科不做）

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科目：高中數學 來源： 題型：

設數列{an}滿足：a1=
5
6
，且an=
1
3
an-1+
1
3
（n∈N*，n≥2）
（1）求證：數列{an-
1
2
}為等比數列，并求數列{an}的通項an；
（2）求{an}的前n項和Sn．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設n∈N*，不等式組
x＞0
y＞0
y≤-nx+2n
所表示的平面區域為Dn，把Dn內的整點（橫、縱坐標均為整數的點）按其到原點的距離從近到遠排列成點列：（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）
（1）求（xn，yn）；
（2）設數列{an}滿足a1=x1，an=
y
2
n
(
1
y
2
1
+
1
y
2
2
+…+
1
y
2
n-1
)，(n≥2)，求證：n≥2時，
an+1
(n+1
)
2
 
-
an
n
2
 
=
1
n
2
 
；
（3）在（2）的條件下，比較(1+
1
a1
)(1+
1
a2
)…(1+
1
an
)與4的大小．

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