Question

【題目】已知橢圓E： （a＞b＞0）的左焦點F1與拋物線y2=﹣4x的焦點重合，橢圓E的離心率為 ，過點M（m，0）（m＞ ）做斜率存在且不為0的直線l，交橢圓E于A，C兩點，點P（ ，0），且 為定值．
（1）求橢圓E的方程；
（2）過點M且垂直于l的直線與橢圓E交于B，D兩點，求四邊形ABCD面積的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：拋物線y2=﹣4x的焦點為（﹣1，0），∴F1（1，0），∴c=1，又 ，a2=b2+c2，

解得c=1=b，a2=2．

∴橢圓E的方程為： +y2=1

（2）

解：設直線l的方程為：ty+m=x，A（x1，y1），C（x2，y2）．

聯立 ，化為：（t2+2）y2+2tmy+m2﹣2=0．

△＞0，∴y1+y2= ，y1y2= ．

= +y1y2= +y1y2

= （y1+y2）+（t2+1）y1y2+

= +（t2+1） + = 為定值．

∴ = ，化為：3m2﹣5m+2=0， ，解得m=1．

∴M（1，0）．

∴y1+y2= ，y1y2= ．

∴|AC|= = = ，

把 代換t可得：|BD|= ．

∴S四邊形ABCD= |AC||BD|= × × = ，

令t2+1=k＞1，則f（k）= = = = ≥ ，

當 = ，即k=2，t=±1時取等號．

∴四邊形ABCD面積的最小值為

【解析】（1）拋物線y2=﹣4x的焦點為（﹣1，0），可得c=1，又 ，a2=b2+c2 ， 聯立解出即可得出．（2）設直線l的方程為：ty+m=x，A（x1 ， y1），C（x2 ， y2）．與橢圓方程聯立化為：（t2+2）y2+2tmy+m2﹣2=0．把根與系數的關系代入 = +y1y2= （y1+y2）+（t2+1）y1y2+ = 為定值．可得 = ，解得m=1．可得|AC|= = ，把 代換t可得：|BD|= ．利用S四邊形ABCD= |AC||BD|與二次函數的單調性即可得出．