Question

在幾何體ABCDE中,∠BAC=,DC⊥平面ABC,EB⊥平面ABC,AB=AC=BE=2,CD=1,

(1)設平面ABE與平面ACD的交線為直線l,求證:l∥平面BCDE;

(2)設F是BC的中點,求證:平面AFD⊥平面AFE;

(3)求幾何體ABCDE的體積.

Answer 1

解:(1)證明:∵CD⊥平面ABC,BF⊥平面ABC,

∴CD∥BE.∴CD∥平面ABE.

又l=平面ACD∩平面ABE,

∴CD∥l.

又l平面BCDE,CD平面BCDE,

∴l∥平面BCDE.

(2)證明:在△DEF中,FD=,FE=,DE=3,

∴FD⊥FE.

∵CD⊥平面ABC,∴CD⊥AF.又BC⊥AF,∴AF⊥平面BCDE.

∴AF⊥FD.∴FD⊥平面AFE.又FD平面AFD,∴平面AFD⊥平面AFE.

(3)V_ABCDE=V_A—BCDE

=S_{四邊形BCDE}·AF

=×(1+2)×2×

=2.