Question

在幾何體ABCDE中，∠BAC=

π

2

，DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC，F是BC的中點，AB=AC=BE=2，CD=1．
（I）求證：DC∥平面ABE；
（II）求證：AF⊥平面BCDE；
（III）求幾何體ABCDE的體積．

Answer 1

分析：（I）證明DC∥平面ABE，即證DC∥EB，利用DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC可證；
（II）證明AF⊥平面BCDE，利用線面垂直的判定，證明DC⊥AF，AF⊥BC即可；
（III）幾何體ABCDE的體積就是以平面BCDE為底面，AF為高的三棱錐的體積．

解答：（I）證明：∵DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC，∴DC∥EB，
又∵DC?平面ABE，EB?平面ABE，
∴DC∥平面ABE                                …..（4分）
（II）證明：∵DC⊥平面ABC，AF?平面ABC
∴DC⊥AF，
又∵AB=AC，F是BC的中點，
∴AF⊥BC，
又∵DC∩BC=C，DC?平面BCDE，BC?平面BCDE，
∴AF⊥平面BCDE                                     …..（8分）
（III）解：∵DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC，
∴DC∥EB，且四邊形BCDE為直角梯形                    …..（9分）
∵在△ABC中，∠BAC=

π

2

，AB=AC=2，F是BC的中點
∴BC=2

2

，AF=

2

…..（11分）
∵由（II）可知AF⊥平面BCDE
∴幾何體ABCDE的體積就是以平面BCDE為底面，AF為高的三棱錐的體積
∴VABCDE=VA-BCDE=

1

3

SBCDE×AF=

1

3

×

1

2

(1+2)×2

2

×

2

=2    …..（13分）

點評：本題考查線面平行，考查線面垂直，考查幾何體的體積，解題的關鍵是正確線面平行、垂直的判定方法，正確運用體積公式．