Question

如圖甲，在直角梯形PBCD中，PB∥CD，CD⊥BC，BC=PB=2CD，A是PB的中點．現沿AD把平面PAD折起，使得PA⊥AB（如圖乙所示），E、F分別為BC、AB邊的中點．

（Ⅰ）求證：PA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求證：平面PAE⊥平面PDE；
（Ⅲ）在PA上找一點G，使得FG∥平面PDE．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）直接證明PA垂直平面ABCD 內的兩條相交直線，可證PA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）證明平面PDE經過平面PAE的一條垂線ED，即可中證明平面PAE⊥平面PDE；
（Ⅲ）過點F作FH∥ED交AD于H，再過H作GH∥PD交PA于G，連接FG，證明平面FHG∥平面PED，即可證明FG∥平面PDE．
解答：解：（Ⅰ）證：因為PA⊥AD，PA⊥AB，AB∩AD=A，所以PA⊥平面ABCD（4分）
（Ⅱ）證：因為BC=PB=2CD，A是PB的中點，所以ABCD是矩形，又E為BC邊的中點，所以AE⊥ED．又由PA⊥平面ABCD，得PA⊥ED，且PA∩AE=A，所以ED⊥平面PAE，而ED?平面PDE，故平面PAE⊥平面PDE（9分）
（Ⅲ）過點F作FH∥ED交AD于H，再過H作GH∥PD交PA于G，連接FG．
由FH∥ED，ED?平面PED，得FH∥平面PED；
由GH∥PD，PD?平面PED，得GH∥平面PED，
又FH∩GH=H，所以平面FHG∥平面PED（12分）
再分別取AD、PA的中點M、N，連接BM、MN，易知H是AM的中點，G是AN的中點，
從而當點G滿足時，有FG∥平面PDE．（14分）
點評：本題考查直線與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定，考查空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．