Question

如圖甲，在直角梯形ABCD中，∠ABC=∠DAB=90°，∠CAB=30°，BC=1，AD=CD，把△DAC沿對角線AC折起后如圖乙所示（點D記為點P），點P在平面ABC上的正投影E落在線段AB上，連接PB．
(Ⅰ)求直線PC與平面PAB所成的角的大小；
(Ⅱ)求二面角P-AC-B的大小的余弦值。

Answer 1

解法一：(Ⅰ)在圖甲中， ∵， ∴，， ∵AD=CD， ∴為等邊三角形， ∴AD=CD=AC=2， 在圖乙中，  ∵點E為點P在平面ABC上的正投影，∴PE⊥平面ABC， ∵BC平面ABC， ∴PE⊥BC， ∵∠CBA= 90°， ∴BC⊥AB， ∵PE∩AB=E，PE平面PAB，AB平面PAB， ∴BC⊥平面PAB， ∴∠CPB為直線PC與平面PAB所成的角， 在Rt△CBP中，BC=l，PC=DC=2， ∴sin∠CPB=， ∵0°＜∠CPB＜90°，∴∠CPB=30°， ∴直線PC與平面PAB所成的角為30°。  (Ⅱ)取AC的中點F，連接PF，EF， ∵PA=PC， ∴PF⊥AC， ∵PE⊥平面ABC，AC平面ABC， ∴PE⊥AC， ∵PF∩PE=P，PF平面PEF，PE平面PEF， ∴AC⊥平面PEF， ∵EF平面PEF， ∴EF⊥AC， ∴∠PFE為二面角P-AC-B的平面角． 在中，， ∴， 在中，， ∴二面角P-AC-B的大小的余弦值為。

解法二：在圖甲中， ∵， ∴，∠DAC=60°， ∵AD=CD， ∴△DAC為等邊三角形， ∴AD=CD=AC=2， 在圖乙中， ∵點E為點P在平面ABC上的射影， ∴PE⊥平面ABC， ∵BC平面ABC， ∴PE⊥BC， ∵∠CBA=90°， ∴BC⊥AB， ∵PE∩AB=E，PE平面PAB，AB平面PAB， ∴BC⊥平面PAB， 連接EC，在Rt△PEA和Rt△PEC中，PA=PC=2，PE=PE， ∴Rt△PEA≌Rt△PEC，∴EA=EC， ∴∠ECA=∠EAC=30°，∴∠CEB=60°， 在中，， ∴， 在中，， 以點E為原點，EB所在直線為x軸，與BC平行的直線為y軸， EP 所在直線為z軸， 建立空間直角坐標系E-xyz，則E(0，0，0)， ， ∴， ， （Ⅰ）∵， ∴，  ∴直線PC與平面PAB所成的角為30°。 （Ⅱ）設平面PAC的法向量為， 由，得， 令x=1，得， ∴為平面PAC的一個法向量， ∵為平面PAB的一個法向量， ∴， ∵二面角P-AC-B的平面角為銳角， ∴二面角P- AC -B的平面角的余弦值為。