Question

用數學歸納法證明等式：1²-2²+3²-4²+…+（2n-1）²-（2n）²=-n（2n+1）（n∈N^*）

Answer 1

分析：用數學歸納法證明問題的步驟是：第一步，驗證當n=n₀時命題成立，第二步假設當n=k時命題成立，那么再證明當n=k+1時命題也成立．關鍵是第二步中要充分用上歸納假設的結論，否則會導致錯誤．

解答：證明：（1）當n=1時，左邊=1²-2²=-3，右邊=-1×（2+1）=-3，
故左邊=右邊，
∴當n=1時，等式成立；
（2）假設n=k時，等式成立，
即1²-2²+3²-…+（2k-1）²-（2k）²=-k（2k+1）成立，
那么n=k+1時，左邊=1²-2²+3²-…+（2k+1）²-（2k+2）²

=-k(2k+1)+[2(k+1)-1]2-[2(k+1)]2

=-k(2k+1)+(2k+1)2-4(k+1)2

=(2k+1)[(2k+1)-k]-4(k+1)2

=（k+1）（-2k-3）
=-（k+1）[2（k+1）+1]
綜合（1）、（2）可知等式1²-2²+3²-4²++（2n-1）²-（2n）²=-n（2n+1）對于任意正整數都成立．

點評：本題考查數學歸納法的思想，應用中要注意的是要用上歸納假設．屬于基礎題．