Question

已知冪函數f(x)=x-m2+2m+3(m∈Z)在區間（0，+∞）上是單調增函數，且為偶函數．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）設函數g(x)=2

f(x)

-8x+q-1，若g（x）＞0對任意x∈[-1，1]恒成立，求實數q的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據冪函數f（x）在區間（0，+∞）上是單調增函數，得出其指數大于0建立關于m的不等關系求得m，再結合f（x）的奇偶即可求函數f（x）的解析式；
（2）由（1）知f（x）=x⁴從而g（x）=2x²-8x+q-1，g（x）＞0對任意x∈[-1，1]恒成立?g（x）_min＞0，x∈[-1，1]．利用二次函數的性質研究g（x）在[-1，1]上單調遞減，從而得出實數q的取值范圍．

解答：解：（1）∵f（x）在區間（0，+∞）上是單調增函數，
∴-m²+2m+3＞0即m²-2m-3＜0
∴-1＜m＜3
又∵m∈Z∴m=0，1，2
而m=0，2時，f（x）=x³不是偶函數，m=1時，f（x）=x⁴是偶函數．
∴f（x）=x⁴
（2）由f（x）=x⁴知g（x）=2x²-8x+q-1，g（x）＞0對任意x∈[-1，1]恒成立?g（x）_min＞0，x∈[-1，1]．
又g（x）=2x²-8x+q-1=2（x-2）²+q-9
∴g（x）在[-1，1]上單調遞減，于是g（x）_min=g（1）=q-7．
∴q-7＞0，q＞7
故實數q的取值范圍是（7，+∞）．

點評：本小題主要考查函數單調性的應用、函數奇偶性的應用、冪函數等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．屬于基礎題．