Question

已知冪函數f(x)=x-m2+2m+3(m∈Z)為偶函數且在區間（0，+∞）上是單調增函數．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）設函數g(x)=2

f(x)

-qx+q-1，若g（x）＞0對任意x∈[-1，1]恒成立，求實數q的取值范圍．

Answer 1

分析：1）由冪函數f(x)=x-m2+2m+3(m∈Z)為偶函數且在區間（0，+∞）上是單調增函數，可得-m²+2m+3＞0且-m²+2m+3為偶數，解不等式可得結合，m∈Z可求m的取值
（2）由（1）可得，g(x)=2

f(x)

-qx+q-1=2x²-qx+q-1＞0，q（1-x）＞1-2x²，結合-1≤x≤1可得x≠1時q≥

1-2x2

1-x

在[-1，1]上恒成立，從而轉化為求h（x）=

1-2x2

1-x

在[-1，1]上的最大值即可

解答：解：（1）由冪函數f(x)=x-m2+2m+3(m∈Z)為偶函數且在區間（0，+∞）上是單調增函數
-m²+2m+3＞0且-m²+2m+3為偶數
解不等式可得，-1＜m＜3，m∈Z
∴m=0，1，2
當m=0時，-m²+2m+3=3（舍）
當m=1時，-m²+2m+3=4
當m=2時，-m²+2m+3=3（舍）
故m=1，f（x）=x⁴
（2）由（1）可得，g(x)=2

f(x)

-qx+q-1=2x²-qx+q-1＞0
q（1-x）＞1-2x²
-1≤x≤1
x≠1時，q≥

1-2x2

1-x

在[-1，1]上恒成立
令h（x）=

1-2x2

1-x

=-[2（1-x）+

1

1-x

]+4≤4-2

2

q≥4-2

2

點評：本題主要考查了冪函數的性質可應用，解題的關鍵是由函數f(x)=x-m2+2m+3(m∈Z)為偶函數且在區間（0，+∞）上是單調增函數，可得-m²+2m+3＞0且-m²+2m+3為偶數，而函數的恒成立問題往往轉化為求解函數的最值，注意構造函數的應用．