Question

設(shè)函數(shù)，其中a>0。曲線y=f（x）在點P（0，f（0））處的切線方程為y=1。
（Ⅰ）確定b，c的值；
（Ⅱ）設(shè)曲線y=f（x）在點（x₁，f（x₁））及（x₂，f（x₂））處的切線都過點（0，2）。 證明：當(dāng)x₁≠x₂時，f′（x₁）≠f′（x₂）。
（Ⅲ）若過點（0，2）可作曲線y=f（x）的三條不同切線，求a的取值范圍。

Answer 1

解：（Ⅰ）由得
f（0）=c，f′（x）=x²-ax+b，f′（0）=b
又由曲線y=f（x）在點P（0，f（0））處的切線方程為y=1，
得f（0）=1，f′（0）=0，
故b=0，c=1。
（Ⅱ）
由于點（t，f（t））處的切線方程為y-f（t）=f′（t）（x-t），
而點（0，2）在切線上，所以2-f（t）=f'（x）（-t），
化簡得
即t滿足的方程為
下面用反證法證明，
假設(shè)f′（x₁）=f′（x₂），
由于曲線y=f（x）在點（x₁，f（x₁））及 （x₂，f（x₂））處的切線都過點（0，2），
則下列等式成立：
由（3）得x₁+x₂=a，由（1）-（2）得
又
故由（4）得，
此時與矛盾
所以f′（x₁）≠f′（x₂）；
（Ⅲ）由（Ⅱ0知，過點（0，2）可作y=f（x）的三條切線，
等價于方程2-f（t）=f'（t）（0-t）有三個相異的實根，
即等價于方程有三個相異的實根
設(shè)，
則
由于a>0，故有

由g（t）的單調(diào)性知：要使g（t）=0有三個相異的實根，
當(dāng)且僅當(dāng)，即
∴a的取值范圍是。