Question

已知二次函數f（x）=ax²+bx+c（a＞0，c＞0）的圖象與x軸有兩個不同的公共點，
且f（c）=0，當0＜x＜c時，恒有f（x）＞0．
（1）當a=，c=2時，求不等式f（x）＜0的解集；
（2）若以二次函數的圖象與坐標軸的三個交點為頂點的三角形的面積為8，且，求a的值；
（3）若f（0）=1，且f（x）≤m²﹣2m+1對所有x∈[0，c]恒成立，求正實數m的最小值．

Answer 1

解：（1）當，c=2時，，
f（x）的圖象與x軸有兩個不同交點，
因為f（2）=0，
設另一個根為x₁，則2x₁=6，x₁=3．
則f（x）＜0的解集為{x|2＜x＜3}．
（2）函數f（x）的圖象與x軸有兩個交點，
因f（c）=0，設另一個根為x₂，則，
于是．
又當0＜x＜c時，恒有f（x）＞0，則，
則三交點為，
這三交點為頂點的三角形的面積為，且，
解得．
（3）當0＜x＜c時，恒有f（x）＞0，則，
所以f（x）在[0，c]上是單調遞減的，且在x=0處取到最大值1，
要使f（x）≤m²﹣2m+1，對所有x∈[0，c]恒成立，
必須成立，所有m²﹣2m+1≥1，即m²﹣2m≥0，
解得m≥2或m≤0，而m＞0，
所以m的最小值為2．