Question

【題目】已知函數，其中是自然對數的底數.

（1）證明是上的偶函數

（2）若關于的不等式在上恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）由 ，根據函數奇偶性的定義即可得是上的偶函數；（2）利用參數分離法，將不等式，在上恒成立，進行轉化為對任意恒成立 ,利用函數的單調性求最值即可求從實數的取值范圍.

試題解析：（1）因為對任意,都有 ，

所以是R上的偶函數.

（2）由條件知在上恒成立,

令，則對任意 ,

所以對任意成立 ,

由對勾函數的單調性知 ,

所以 ,

因此，實數的取值范圍是.

【方法點晴】本題主要考查函數的奇偶性、單調性以及不等式恒成立問題，屬于難題．不等式恒成立問題常見方法：① 分離參數恒成立(可)或恒成立（即可）；② 數形結合(圖象在 上方即可)；③ 討論最值或恒成立；④ 討論參數.本題是利用方法 ① 求得實數的取值范圍.