Question

已知如圖幾何體，矩形ABCD和矩形ABEF所在平面互相垂直，AF=2AB=2AD，M為AF的中點，BN⊥CE．
（Ⅰ）求證：CF∥平面MBD；
（Ⅱ）求證：CF⊥平面BDN．

Answer 1

證明：（ I）證明：連接AC交BD于O，連接OM
因為M為AF中點，O為AC中點，
所以FC∥MO，
又因為MO?平面MBD，
所以CF∥平面MBD； …（4分）
（ II）因為正方形ABCD和矩形ABEF所在平面互相垂直，
所以AF⊥平面ABCD．
所以AF⊥BD，又因為
所以BD⊥平面ACF，所以FC⊥BD
因為，正方形ABCD和矩形ABEF，所以AB⊥BC，AB⊥BE，
所以AB⊥平面BCE，所以AB⊥BN，又因為EF∥AB，所以EF⊥BN
又因為EC⊥BN，所以BN⊥平面CEF，所以BN⊥FC，
所以CF⊥平面BDN． …（12分）
分析：（ I）連接AC交BD于O，連接OM，證明FC∥MO，然后證明CF∥平面MBD；
（ II）因為正方形ABCD和矩形ABEF所在平面互相垂直，推出AF⊥平面ABCD．證明FC⊥BD，證明EF⊥BN，BN⊥FC，
然后證明CF⊥平面BDN即可．
點評：本題考查直線與平面垂直，直線與平面平行的證明，考查空間想象能力，計算能力．