Question

已知如圖幾何體，矩形ABCD和矩形ABEF所在平面互相垂直，AF=2AB=2AD，M為AF的中點，BN⊥CE。
（Ⅰ）求證：CF∥平面MBD；
（Ⅱ）求證：CF⊥平面BDN。

Answer 1

證明：（Ⅰ）連結AC交BD于O，連結OM，
因為M為AF中點，O為AC中點，
所以FC∥MO，
又因為，
所以FC∥平面MBD；
（Ⅱ）因為正方形ABCD和矩形ABEF所在平面互相垂直，
所以AF⊥平面ABCD，
所以AF⊥BD，
又因為AF平面ACF，
所以BD⊥平面ACF，
所以FC⊥BD，
因為正方形ABCD和矩形ABEF，
所以，
所以AB⊥平面BCE，
所以AB⊥BN，
又因為EF∥AB，
所以EF⊥BN，
又因為EC⊥BN，
所以BN⊥平面CEF，
所以BN⊥FC，
所以CF⊥平面BDN。