Question

下列命題正確的是（　　）
①兩個奇函數的積仍是奇函數；
②兩個增函數的積仍是增函數；
③函數y=lnx對任意x₁，x₂∈（0，+∞），都有f(

x1+x2

2

)≥

f(x1)+f(x2)

2

；
④函數y=f（x）對定義域內任意x₁，x₂，當x₁≠x₂時，

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜0，則函數y=f（x）是增函數．

A．①②③④

B．①②③

C．②③

D．③

Answer 1

分析：根據奇函數的定義域的特征，通過舉反例得到①是錯誤的；根據函數單調增的定義，通過舉反例得到②是錯誤的；運用基本不等式，結合對數函數y=lnx的單調性，可以證明出③是正確的；根據函數單調性的定義，結合題中條件，可以證明出④中的函數是單調減函數，故④錯誤，因此可得正確選項．

解答：解：對于①，兩個奇函數的積在它們公共的定義域內仍然是奇函數，
但是如果它們的定義域的交集是空集，則它們的積構不成函數，
更談不到奇偶性了，
比如：f（x）=

1-x2

x

是定義在[-1，0）∪（0，1]上的奇函數
g（x）=

x2-4

x

是定義在（-∞，-2]∪[2，+∞）上的奇函數
但y=f（x）g（x）的定義域是空集，不符合奇函數的定義，故①錯誤；
對于②，兩個函數如果是恒為正值且為增函數，則它們積對應的函數還是增函數，
但是如果沒有恒正的條件，積對應的函數則未必是增函數，
比如：f（x）=x在區間（0，+∞）上是增函數，
g（x）=-

1

x

在區間（0，+∞）上也是增函數，
但y=f（x）g（x）=-1是常數函數，不是增函數，故②錯誤；
對于③，函數y=lnx對任意x₁，x₂∈（0，+∞），
∵f(

x1+x2

2

)=ln

x1+x2

2

，

x1+x2

2

≥

x1x2

∴根據函數y=lnx是增函數，可得f(

x1+x2

2

)≥ln

x1x2

∵

f(x1)+f(x2)

2

=

1

2

 (lnx1+lnx2)=

1

2

ln(x1x2) =ln

x1x2

∴f(

x1+x2

2

)≥

f(x1)+f(x2)

2

，故③正確；
對于④，函數y=f（x）對定義域內任意x₁，x₂，當x₁≠x₂時，

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜0，說明當x₁＜x₂時，f（x₁）＞f（x₂），
說明函數y=f（x）在其定義域上是一個減函數，故④錯誤．
綜上所述，正確的命題只有③
故選D

點評：本題借助命題的真假判斷與應用，著重考查了函數單調性、奇偶性的性質和對數函數圖象與性質的綜合應用等知識，屬于中檔題．