Question

函數y=

1

1-x

與函數y=2sinπx，x∈[-2，4]的圖象的所有交點的橫坐標之和=

8

．

Answer 1

分析：y₁=

1

1-x

的圖象由奇函數y=-

1

x

向右平移1個單位而得，所以它的圖象關于點（1，0）中心對稱，再由正弦函數的對稱中心公式，可得函數y₂=2sinπx的圖象的一個對稱中心也是點（1，0），故交點個數為偶數，且每一對對稱點的橫坐標之和為2．由此不難得到正確答案．

解答：解：函數y₁=

1

1-x

，y₂=2sinπx的圖象有公共的對稱中心（1，0），作出兩個函數的圖象如圖
當1＜x≤4時，y₁＜0
而函數y₂在（1，4）上出現1.5個周期的圖象，
在（1，

3

2

）和（

5

2

，

7

2

）上是減函數；
在（

3

2

，

5

2

）和（

7

2

，4上是增函數．
∴函數y₁在（1，4）上函數值為負數，且與y₂的圖象有四個交點E、F、G、H
相應地，y₁在（-2，1）上函數值為正數，且與y₂的圖象有四個交點A、B、C、D
且：x_A+x_H=x_B+x_G═x_C+x_F=x_D+x_E=2，故所求的橫坐標之和為8
故答案為：8

點評：發現兩個圖象公共的對稱中心是解決本題的入口，討論函數y₂=2sinπx的單調性找出區間（1，4）上的交點個數是本題的難點所在．