Question

已知函數f（x）=e^x-ax（a∈R）．
（Ⅰ） 寫出函數y=f（x）的圖象恒過的定點坐標；
（Ⅱ）直線L為函數y=φ（x）的圖象上任意一點P（x₀，y₀）處的切線（P為切點），如果函數y=φ（x）圖象上所有的點（點P除外）總在直線L的同側，則稱函數y=φ（x）為“單側函數”．
（i）當a=

1

2

判斷函數y=f（x）是否為“單側函數”，若是，請加以證明，若不是，請說明理由．
（i i）求證：當x∈（-2，+∞）時，e^x+

1

2

x≥ln（

1

2

x+1）+1．

Answer 1

分析：（I）觀察函數的表達式，可得當x=0時，f（x）=1，所以函數y=f（x）的圖象恒過定點M（0，1）．
（II）（i）將a=

1

2

代入，得f（x）=e^x-

1

2

x，然后利用導數求得y=f（x）圖象在點P（x₀，y₀）處的切線L方程為：y=（ex0-

1

2

）x+ex0（1-x₀），再構造函數F（x）=f（x）-g（x）=e^x-ex0•x+ex0•x₀-ex0，討論F（x）的單調性得知：當x=x₀時，F（x）有最小值F（x₀）=0．因此，f（x）≥g（x）對任意的x∈R都成立，所以函數f（x）圖象上所有的點都位于切線L的上方，由此得當a=

1

2

時，函數y=f（x）是“單側函數”．
（ii）根據（i）的結論中的不等式，取x₀=0得不等式e^x+

1

2

x≥

1

2

x+1對任意x∈R都成立，然后構造函數G（x）=（

1

2

x+1）-[ln（

1

2

x+1）+1]，討論G（x）的單調性得到當x=0時，G（x）有最小值G（0）=0，即G（x）≥0對任意x∈（-2，+∞）都成立，從而得到

1

2

x+1≥ln（

1

2

x+1）+1對任意x∈（-2，+∞）都成立．最后利用不等式的傳遞性，可得當x∈（-2，+∞）時，e^x+

1

2

x≥ln（

1

2

x+1）+1恒成立．

解答：解：（I）∵f（x）=e^x-ax，
∴當x=0時，f（x）=e⁰-a×0=1
所以函數y=f（x）的圖象恒過的定點為M（0，1）．
（II）（i）對函數求導數，得f'（x）=e^x-a，
當a=

1

2

時，f'（x）=e^x-

1

2

，
所以函數y=f（x）圖象在點P（x₀，y₀）處的切線斜率為k=f'（x₀）=ex0-

1

2

，
可得切線L的方程為：y-y₀=（ex0-

1

2

）（x-x₀）
∵y₀=f（x₀）=ex0-

1

2

x₀，
∴函數y=f（x）圖象在點P（x₀，y₀）處的切線L的方程化簡，
得：y-（ex0-

1

2

x₀）=（ex0-

1

2

）（x-x₀），即y=（ex0-

1

2

）x+ex0（1-x₀）
設y=g（x）=（ex0-

1

2

）x+ex0（1-x₀），
再記F（x）=f（x）-g（x）=（e^x-

1

2

x）-[（ex0-

1

2

）x+ex0（1-x₀）]=e^x-ex0•x+ex0•x₀-ex0，
對F（x）求導數，得F'（x）=e^x-ex0，
當x＞x₀時，F'（x）＞0，得函數F（x）在區間（x₀，+∞）為增函數；
當x＜x₀時，F'（x）＜0，得函數F（x）在區間（-∞，x₀）為減函數，
∴當x=x₀時，F（x）有最小值F（x₀）=0．即F（x）≥0對任意的x∈R，都有F（x₀）≥0，
也就是f（x）≥g（x）對任意的x∈R都成立．
因此，函數f（x）圖象上所有的點都位于切線L的上方，由此可得當a=

1

2

時，函數y=f（x）是“單側函數”．
（ii）由（i）的證明可得e^x+

1

2

x≥（ex0-

1

2

）x+ex0（1-x₀），
取x₀=0，得不等式e^x+

1

2

x≥

1

2

x+1對任意x∈R都成立…①，
接下來證明

1

2

x+1≥ln（

1

2

x+1）+1在區間（-2，+∞）上恒成立：
記函數G（x）=（

1

2

x+1）-[ln（

1

2

x+1）+1]=

1

2

x-ln（

1

2

x+1），
對G（x）求導數，得G'（x）=

1

2

-

1

1 2 x+1

•

1

2

=

x

2(x+2)

∴當x＞0時，G'（x）＞0，得函數G（x）在區間（0，+∞）為增函數；
當-2＜x＜0時，F'（x）＜0，得函數F（x）在區間（-2，0）為減函數，
可得當x=0時，G（x）有最小值G（0）=0，即G（x）≥0對任意的x∈（-2，+∞）都成立．
所以不等式

1

2

x+1≥ln（

1

2

x+1）+1在區間（-2，+∞）上恒成立…②，
對照①②可得e^x+

1

2

x≥

1

2

x+1≥ln（

1

2

x+1）+1在區間（-2，+∞）上恒成立，
即當x∈（-2，+∞）時），e^x+

1

2

x≥ln（

1

2

x+1）+1恒成立．

點評：本題給出一個特殊的函數，通過討論函數的單調性與最值，來證明不等式恒成立，并且用圖象解釋了不等式的幾何意義，考查了利用導數研究曲線上某點切線方程、利用導數求閉區間上函數的最值和函數與不等式的綜合應用等知識點，屬于難題．