Question

（1）求f(x)=

lnx+2x

x2

的導(dǎo)數(shù)；
（2）求過(guò)曲線(xiàn)y=cosx上點(diǎn)P(

π

3

，

1

2

)且與過(guò)這點(diǎn)的切線(xiàn)垂直的直線(xiàn)方程．

Answer 1

分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則和基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)直接求解即可．
（2）要求直線(xiàn)方程，只需求出該直線(xiàn)的斜率．因?yàn)榇酥本�(xiàn)和過(guò)曲線(xiàn)y=cosx上點(diǎn)P(

π

3

，

1

2

)的切線(xiàn)垂直，
只需求出過(guò)曲線(xiàn)y=cosx上點(diǎn)P(

π

3

，

1

2

)的切線(xiàn)的斜率，即為該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值．

解答：解：（1）f′(x)=(

lnx

x2

+

2x

x2

)′
=

1 x x2-lnx•2x

x4

+

2x•ln2•x2-2x•2x

x4

=

(1-2lnx)x+(ln2•x2-2x)•2x

x4

=

1-2lnx+(ln2•x-2)•2x

x3

；
（2）∵y'=-sinx，曲線(xiàn)在點(diǎn)P(

π

3

，

1

2

)處的切線(xiàn)的斜率是-sin

π

3

=-

3

2

．
∴過(guò)點(diǎn)P且與切線(xiàn)垂直的直線(xiàn)的斜率為

2

3

．
∴所求的直線(xiàn)方程為y-

1

2

=

2

3

(x-

π

3

)，
即2x-

3

y-

2π

3

+

3

2

=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、運(yùn)算法則、導(dǎo)數(shù)的集合意義，屬基礎(chǔ)知識(shí)、基本運(yùn)算的考查．