Question

實數(shù)a，b，c滿足條件3（a²+b²）=4c²（c≠0）．
（1）求證：直線ax+by+c=0與圓x²+y²=1交于不同的兩點P、Q；
（2）求弦PQ的長．

Answer 1

考點：直線與圓相交的性質(zhì)

專題：直線與圓

分析：（1）利用點到直線的距離與半徑之間的關(guān)系進行判斷．
（2）根據(jù)直線和圓相交時的弦長公式 進行求解即可．

解答： 解：（1）圓x²+y²=1的圓心（0，0）到直線ax+by+c=0的距離d=

|c|

a2+b2

．
由已知條件3（a²+b²）=4c²，得

a2+b2

=

2

3

|c|（c≠0），
∴d=

|c|

2 3 |c|

=

3

2

＜1，
故直線與圓有兩個不同的交點P、Q.6分
（2）設(shè)圓心O在直線ax+by+c=0上的射影為H，則|OH|=d=

3

2

，
∴|PQ|=2

|OP|2-|OH|2

=2

1-( 3 2 )2

=1.12分．

點評：本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系的判斷以及弦長公式的求解，利用點到直線的距離公式是解決本題的關(guān)鍵．