Question

已知函數f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數，在[0，1]上，f（x）=2^x+ln（x+1）-1
（Ⅰ）求函數f（x）的解析式；并判斷f（x）在[-1，1]上的單調性（不要求證明）
（Ⅱ）解不等式f（2x+1）+f（1-x²）≥0．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用函數的奇偶性，將x∈[-1，0]，轉化為-x∈[0，1]上即可求函數f（x）的解析式；并根據函數奇偶性和單調性的關系判斷f（x）在[-1，1]上的單調性．
（Ⅱ）利用函數的奇偶性和單調性將不等式f（2x+1）+f（1-x²）≥0轉化為f（2x+1）≥-f（1-x²）=f（x²-1），解不等式即可．

解答：解：（Ⅰ）設x∈[-1，0]，則-x∈[0，1]，
∵在[0，1]上f（x）=2^x+ln（x+1）-1，
∴f（-x）=2^-x+ln（-x+1）-1，
∵f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數，
∴f（-x）=-f（x），
即f（-x）=2^-x+ln（-x+1）-1=-f（x），
∴f（x）=-2^-x-ln（-x+1）+1，x∈[-1，0]，
∴f(x)=

2x+ln?(x+1)-1，(0≤x≤1) -2-x-ln?(1-x)+1，(-1≤x＜0)

∵y=2^x，y=ln（x+1），在定義域上為增函數，
∴f（x）在[-1，1]上的單調遞增．
（Ⅱ）由f（2x+1）+f（1-x²）≥0，得f（2x+1）≥-f（1-x²）=f（x²-1）．
∵f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數，
∴-f（1-x²）=f（x²-1）．
即不等式等價為f（2x+1）≥f（x²-1）．
∵f（x）在[-1，1]上的單調遞增．
∴

-1≤2x+1≤1 -1≤x2-1≤1 2x+1≥x2-1

，即

-1≤x≤0 0≤x2≤ 2 x2-2x-2≤0

，
∴

-1≤x≤0 - 2 ≤x≤ 2 1- 3 ≤x≤1+ 3

，解得-1≤x≤0．
故不等式的解集為[-1，0]．

點評：本題主要考查函數奇偶性的應用，以及利用函數的單調性解不等式，考查函數性質的綜合應用．