Question

某鄉鎮為了盤活資本，優化組合，決定引進資本拯救出現嚴重虧損的企業．長年在外經商的王先生為了回報家鄉，決定投資線路板廠和機械加工廠．王先生經過預算，如果引進新技術在優化管理的情況下，線路板廠和機械加工廠可能的最大盈利率分別為95%和80%，可能的最大虧損率分別為30%和10%．由于金融危機的影響，王先生決定最多出資100萬元引進新技術，要求確保可能的資金虧損不超過18萬元．問王先生對線路板廠和機械加工廠各投資多少萬元，才能使可能的盈利最大？

Answer 1

【答案】分析：這是一個實際生活中的最優化問題，可根據條件列出線性約束條件和目標函數，畫出可行域求解．
解答：解：設王先生分別用x萬元、y萬元投資線路板廠和機械加工廠兩個項目，盈利為z萬元．
由題意知
目標函數z=0.95x+0.8y
上述不等式組表示的平面區域如圖所示，陰影部分（含邊界）即可行域．
作直線l：0.95x+0.8y=0，
并作平行于直線l的一組直線0.95x+0.8y=z，z∈R，
與可行域相交，其中有一條直線經過可行域上的M點，
且與直線0.95x+0.8y=0的距離最大，
這里M點是直線x+y=100和0.3x+0.1y=18的交點．
解方程組
得x=40，y=60
此時z=0.95×40+0.8×60=86（萬元）．
所以當x=40，y=60時z取得最大值．
答：王先生用40萬元投資線路板廠、60萬元機械加工廠，
才能在確保虧損不超過18萬元的前提下，使可能的盈利最大為86萬元．
點評：用圖解法解決線性規劃問題時，分析題目的已知條件，找出約束條件和目標函數是關鍵，可先將題目中的量分類、列出表格，理清頭緒，然后列出不等式組（方程組）尋求約束條件，并就題目所述找出目標函數．然后將可行域各角點的值一一代入，最后比較，即可得到目標函數的最優解．