Question

已知O為坐標原點，點A、B分別在x軸，y軸上運動，且|AB|=8，動點P滿足=，設點P的軌跡為曲線C，定點為M（4，0），直線PM交曲線C于另外一點Q．
（1）求曲線C的方程；
（2）求△OPQ面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先點的坐標，得到向量的坐標，代入=，求得坐標間的關系，再由|AB|=8求得曲線的軌跡方程．
（2）由（1）可知，M（4，0）為橢圓+=1的右焦點，設直線PM方程為x=my+4，再與橢圓方程聯立，由韋達定理求得|y_P-y_Q|，然后由S_△OPQ=|OM||y_P-y_Q|建立函數模型求其最值．
解答：解：（1）設A（a，0），B（0，b），P（x，y），
則=（x-a，y），=（-x，b-y），
∵=，∴∴a=x，b=y．
又|AB|==8，∴=1．
∴曲線C的方程為=1．
（2）由（1）可知，M（4，0）為橢圓的右焦點，
設直線PM方程為x=my+4，
由消去x得
（9m²+25）y²+72my-81=0，
∴|y_P-y_Q|==．
∴S_△OPQ=|OM||y_P-y_Q|=2×===≤=，
當=，
即m=±時，△OPQ的面積取得最大值為，
此時直線方程為3x±y-12=0．
點評：本題主要考查軌跡方程的求法和直線與圓錐曲線的位置關系，以及所構造平面圖形面積的最大，最小等問題．