Question

（選做B）已知函數f（x）=

1

2

x²+alnx．
（1）若a=-1，求函數f（x）的極值，并指出是極大值還是極小值；
（2）若a=1，求證：在區間[1，+∞）上，函數f（x）的圖象在函數g（x）=

2

3

x³的圖象的下方．

Answer 1

分析：（1）求導數，利用導數的正負，可確定函數f（x）的單調區間，進而得到函數的極值；
（2）構造函數設F（x）=

1

2

x²+ln x-

2

3

x³，利用導數可知函數F（x）的單調性為遞減，從而可得F（x）＜F（1）=0可證．

解答：解：（1）由于函數f（x）的定義域為（0，+∞），
當a=-1時，f′（x）=x-

1

x

=

(x-1)(x+1)

x

令f′（x）=0得x=1或x=-1（舍去），[（3分）]
當x∈（0，1）時，f′（x）＜0，因此函數f（x）在（0，1）上是單調遞減的，
當x∈（1，+∞）時，f′（x）＞0，因此函數f（x）在（1，+∞）上是單調遞增的，
則x=1是f（x）極小值點，
所以f（x）在x=1處取得極小值為f（1）=

1

2

；
（2）證明：設F（x）=f（x）-g（x）=

1

2

x²+ln x-

2

3

x³，
則F′（x）=x+

1

x

-2x²=

-2x3+x2+1

x

=

-(x-1)(2x2+x+1)

x

，
當x＞1時，F′（x）＜0，
故f（x）在區間[1，+∞）上是單調遞減的，
又F（1）=-61＜0，
∴在區間[1，+∞）上，F（x）＜0恒成立．即f（x）-g（x）＜0 恒成立
即f（x）＜g（x）恒成立，
因此，當a=1時，在區間[1，+∞）上，函數f（x）的圖象在函數g（x）圖象的下方．

點評：本題主要考查了導數的應用：求單調區間，求極值，解（2）的關鍵是構造函數，轉化為研究函數的單調性問題．