Question

在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若sinC=2sinA，b=

3

a．
（1）求角B；
（2）若△ABC的面積為2

3

，求函數f（x）=2sin²（x+π）+cos（2x-B）-a的單調增區間．

Answer 1

分析：（1）利用已知條件以及正弦定理余弦定理，直接求出B的余弦函數值，然后求角B；
（2）通過△ABC的面積為2

3

，求出a，然后化簡函數f（x）=2sin²（x+π）+cos（2x-B）-a為 一個角的一個三角函數的形式，利用正弦函數的單調增區間求解函數的單調增區間．

解答：解：（1）∵sinC=2sinA，由正弦定理可得：c=2a
又∵b=

3

a，
∴cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

4a2+a2-( 3 a)2

2•2a•a

=

1

2

∴B=

π

3

（2）S△ABC=

1

2

•ac•sinB=

1

2

×a×2a•sin

π

3

=2

3

∴a=2
∴f(x)=2sin2x+cos(2x-B)-a=1-cos2x+cos(2x-

π

3

)-2
=-cos2x+

1

2

cos2x+

3

2

sin2x-1=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x-1
=sin(2x-

π

6

)-1．
∴令2x-

π

6

∈[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]
解得x∈[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]，k∈Z．
∴函數的單調增區間：[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]，k∈Z．

點評：本題考查余弦定理正弦定理的應用，兩角和與差的三角函數以及三角函數的單調區間的求法，考查轉化思想以及計算能力．