Question

已知函數f（x）=3ax²+2bx+c，a+b+c=0，且f（0）•f（1）＞0
（I）求證：-2＜

b

a

＜-1；
（II）若x₁、x₂ 是方程f（x）=0的兩個實根，求|x₁-x₂|的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 當a=0時，f（0）=c，f（1）=2b+c，又b+c=0，則f（0）•f（1）=c（2b+c）=-c²＜0，與已知矛盾，因而a≠0，則f（0）f（1）=c（3a+2b+c）=-（b+c）（2a+b）＞0，從而建立關于

b

a

的不等關系，從而求出

b

a

的范圍即得；
（II）根據根與系數的關系即可求得x₁+x₂，x₁•x₂則可得d²=|x₁-x₂|²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂，得到關于

b

a

的二次函數，又由（I）得-2＜

b

a

＜-1，根據其增減性即可求得答案．

解答：證明：（Ⅰ） 當a=0時，f（0）=c，f（1）=2b+c，又b+c=0，
則f（0）•f（1）=c（2b+c）=-c²＜0，與已知矛盾，
因而a≠0，則f（0）f（1）=c（3a+2b+c）=-（b+c）（2a+b）＞0
即（

b

a

+1）（

b

a

+2）＜0，從而-2＜

b

a

＜-1；
（II） x₁、x₂是方程f（x）=0的兩個實根，
∴x₁+x₂=-

2b

3a

，x₁•x₂=-

a+b

3a

，
那么|x₁-x₂|²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=（-

2b

3a

）²+4×

a+b

3a

=

4

9

（

b

a

）²+

4

3

×

b

a

+

4

3

，
此關于

b

a

的二次函數的對稱軸為：

b

a

=-

3

2

，
∴當-2＜

b

a

＜-1時，是減函數，
∴|x₁-x₂|²∈[

1

3

，

4

9

）
|x₁-x₂|的取值范圍的取值范圍[

3

3

，

2

3

）．

點評：此題主要考查了二次函數的性質、含有字母系數的一元二次方程的解法，注意根與系數的關系的應用．