Question

設y=f（x）=lg

5-x

5+x

．
（1）求函數y=f（x）的定義域和值域；
（2）判斷y=f（x）的奇偶性；
（3）判定y=f（x）的單調性．

Answer 1

分析：（1）根據題意可得

5-x

5+x

＞0，解不等式即可求函數的定義域，結合對數函數y=lgx的值域為R，可求該函數的值域；
（2）由（1）所求的定義域，代入驗證可得f（-x）=-f（x），從而可得函數為奇函數；
（3）根據復合函數的單調性，分別判斷t=

5-x

5+x

=-1+

10

5+x

在（-5，5）單調性以及y=lgt在（0，+∞）單調性，從而可得該函數的單調性．

解答：解：（1）由題意可得

5-x

5+x

＞0，解不等式可得-5＜x＜5
函數的定義域（-5，5）
令t=

5-x

5+x

，則t＞0，t能取到一切大于0的值
由對數函數的性質可得值域R
（2）∵函數的定義域（-5，5）關于原點對稱
∵f(-x)=lg

5+x

5-x

=-lg

5-x

5+x

=-f(x)
∴函數f（x）=lg

5-x

5+x

為奇函數
（3）∵函數的定義域（-5，5）
∵t=

5-x

5+x

=-1+

10

5+x

在（-5，5）單調遞減，y=lgt在（0，+∞）單調遞增
根據復合函數的單調性可得，函數的單調減區間（-5，5）
∴該函數在（-5，5）上單調遞減

點評：本題主要考查了對數函數的定義域、值域、奇偶性、復合函數的單調區間的求解，要注意對奇偶性及單調區間的求解時不能忽略了函數的定義域，避免區間擴大，出現錯誤，屬于中檔題．