Question

【題目】選修4-4：坐標系與參數方程

已知曲線的極坐標方程是，以極點為原點，極軸為軸的正半軸建立平面直角坐標系，直線的參數方程為 (為參數）.

(I)寫出直線的一般方程與曲線的直角坐標方程，并判斷它們的位置關系；

(II)將曲線向左平移個單位長度，向上平移個單位長度，得到曲線，設曲線經過伸縮變換得到曲線，設曲線上任一點為，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】試題分析：（I）極坐標方程兩邊乘以 ，利用轉化成直角坐標方程，然后將直線的參數方程的上式化簡成 代入下式消去參數 即可，最后利用圓心到直線的距離與半徑比較即可判定位置關系；(II)根據伸縮變換公式求出變換后的曲線方程，然后利用參數方程表示出曲線上任意一點，代入 ，根據三角函數的輔助角公式，求出其范圍即可.

試題解析：（I）直線的一般方程為，

曲線的直角坐標方程為.

因為，

所以直線和曲線相切.

（II）曲線為.

曲線經過伸縮變換

得到曲線的方程為，

則點的參數方程為（為參數），

所以，

所以的取值范圍為.