Question

已知函數f（x）=g（x）+h（x），其中，g（x）是正比例函數，h（x）是反比例函數，且函數f（x）的圖象經過A（1，3）、B（

1

2

，3）兩點．
（1）求f（x）的解析式；
（2）用定義證明：函數f（x）在[1，+∞）上是增函數．

Answer 1

分析：（1）設g（x）=ax（a≠0），h（x）=

b

x

（b≠0），則f（x）=ax+

b

x

，由圖象所過點A、B可得方程組，解出即可；
（2）設任意x₁，x₂∈[1，+∞）且x₁＜x₂，利用作差法證明f（x₁）＜f（x₂）即可；

解答：解：（1）設g（x）=ax（a≠0），h（x）=

b

x

（b≠0），則f（x）=ax+

b

x

，
∵f（x）的圖象經過A（1，3）、B（

1

2

，3）兩點．
∴f（1）=3，f（

1

2

）=3，即

a+b=3 1 2 a+2b=3

，解得

a=2 b=1

，
∴f（x）=2x+

1

x

；
（2）設任意x₁，x₂∈[1，+∞）且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=（2x1+

1

x1

）-（2x2+

1

x2

）=2（x₁-x₂）+

x2-x1

x1x2

=

(x1-x2)(2x1x2-1)

x1x2

，
∵1≤x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，2x₁x₂-1＞0，x₁x₂＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴函數f（x）在[1，+∞）上是增函數．

點評：本題考查待定系數法求函數解析式、函數單調性的證明，屬基礎題，證明函數單調性的基本方法是定義法、導數法．