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設a、b、c為正數，且滿足a2+b2=c2．
（1）求證：log2(1+
b+c
a
)+log2(1+
a-c
b
)=1
（2）若log4(1+
b+c
a
)=1，log8(a+b-c)=
2
3
，求a、b、c的值．
分析：（1）利用對數的性質化簡等式的左邊，真數按照多項式的乘法展開，利用a2+b2=c2即可．
（2）log4(1+
b+c
a
)=1，log8(a+b-c)=
2
3
，分別去掉對數符號，解方程組求出a、b、c的值．
解答：證明：（1）左邊=log2
a+b+c
a
+log2
a+b-c
b
=log2(
a+b+c
a
•
a+b-c
b
)
=log2
(a+b)2-c2
ab
=log2
a2+2ab+b2-c2
ab
=log2
2ab+c2-c2
ab
=log22=1；
解：（2）由log4(1+
b+c
a
)=1得1+
b+c
a
=4，∴-3a+b+c=0①
由log8(a+b-c)=
2
3
得a+b-c=8
2
3
=4②
由①+②得b-a=2③
由①得c=3a-b，代入a2+b2=c2得2a（4a-3b）=0，∵a＞0，
∴4a-3b=0④
由③、④解得a=6，b=8，從而c=10．
點評：本題考查對數的運算性質，是基礎題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

設a，b，c為正數，利用排序不等式證明a3+b3+c3≥3abc．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設a，b，c為正數，且a+b+4c=1，則
a
+
b
+
2c
的最大值是
10
2
10
2
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設a，b，c為正數，且a+b+c=1，求證：（a+
1
a
）2+（b+
1
b
）2+（c+
1
c
）2≥
100
3
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

[選做題]
A．（選修4-1：幾何證明選講）
如圖，△ABC是⊙O的內接三角形，PA是⊙O的切線，PB交AC于點E，交⊙O于點D，若PE=PA，
∠ABC=60°，PD=1，BD=8，求BC的長．
B．（選修4-2：矩陣與變換）
二階矩陣M對應的變換將點（1，-1）與（-2，1）分別變換成點（-1，-1）與（0，-2）．
（Ⅰ）求矩陣M的逆矩陣M-1；
（Ⅱ）設直線l在變換M作用下得到了直線m：2x-y=4，求l的方程．
C．（選修4-4：坐標系與參數方程）
在極坐標系中，設圓ρ=3上的點到直線ρ(cosθ+
3
sinθ)=2的距離為d，求d的最大值．
D．（選修4-5：不等式選講）
設a，b，c為正數且a+b+c=1，求證：(a+
1
a
)2+(b+
1
b
)2+(c+
1
c
)2≥
100
3
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（理）（1）設x、y是不全為零的實數，試比較2x2+y2與x2+xy的大小；
（2）設a，b，c為正數，且a2+b2+c2=1，求證：
1
a2
+
1
b2
+
1
c2
-
2(a3+b3+c3)
abc
≥3．

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